A CONTINUACIÓN SE PUBLICAN LOS EXÁMENES APLICADOS EL PASADO 15 DE NOVIEMBRE EN LA ETAPA DEL SELETIVO INTERNO EN EL CUAL QUEDARON SELECCIONADOS 19 ALUMNOS QUIENES ASISTIERON EL 26 A LA TÉCNICA 20 PARA EL SELECTIVO A NIVEL ZONA.
AL FINAL DE CADA EXAMEN SE ENCUENTRA LA SOLUCIÓN CORRESPONDIENTE A CADA UNO DE ELLOS.

(PUEDEN DEJAR SUS COMENTARIOS.)

EXAMEN CADETE 2OO7-8 ETAPA ESCUELA

EXAMEN CADETE SECUNDARIA, INTERNO ESCUELA, 2007-08.
NOMBRE: _____________________________________________
GRADO: __________ GRUPO: ____________ PUNTUACIÓN: ____________

Instrucciones.

1.- El nivel cadete se corresponde con el tercer año de secundaria.
2.- La duración de este examen es de una hora exactamente.
3.- Está estrictamente prohibido el uso de calculadora, tablas o algún material auxiliar; sólo se permiten lápiz y borrador.
4.- Todos los celulares deberán estar apagados y guardados.
5.- Los relojes con calculadora deberán estar apagados y guardados.

1.- Fanny tendrá 21 años en el año 2007 y en ese año tendrá el triple que su prima Zulema. ¿En qué año nació Zulema?
a) 1998

b) 1999

c) 2000

d) 2001

e) 2002

2.- Una caja de manzanas se vende a 160 pesos, un árbol de manzanas en producción da aproximadamente tres cajas al año. En una huerta con 144 árboles en este año los 5/6 de los árboles han estado en producción. ¿Qué cantidad de dinero daría la huerta si se vendiese toda la producción de un año?
a) 57600

b) 60800

c) 69120

d) 72000

e) 72800

3.- Un número es divisible entre 3 si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 3. Por ejemplo 25131 es divisible entre 3 porque 2 + 5 + 1 + 3 + 1 = 12 es divisible entre 3, De los siguientes números, ¿cuál es divisible entre 3?
a) 1111111

b) 731241

c) 651547

d) 84848

e) 35413

4.- Un número es divisible entre 7 si le quitamos a dicho número la cifra de las unidades y al número que nos queda le restamos el doble de la cifra de las unidades. Si el número que obtenemos de esta forma es divisible entre 7 entonces el número original también lo es. Por ejemplo 273 es divisible entre 7 porque 27 - 2x3 = 27 – 6 = 21 es divisible entre 7. De los siguientes números, ¿cuál es divisible entre 7?
a) 352946

b) 3565

c) 65147

d) 3484

e) 35413

5.-Un número es divisible entre 11 si la diferencia entre la suma de los dígitos que ocupan la posición par y la suma de los dígitos que ocupan la posición impar es divisible entre 11. Por ejemplo 175692 es divisible entre 11 porque (7+6+2)-(1+5+9) = 15-15 = 0, y el 0 es divisible por 11. De los siguientes números, ¿cuál es divisible entre 11?
a) 10857

b) 44435

c) 34853

d) 1175811

e) 313435

6.- Un número es divisible entre 13 si al agrupar los dígitos de tres en tres, comenzando por las unidades y alternando el signo de suma y resta, el resultado obtenido es divisible entre 13. Por ejemplo 146274365432117 es divisible entre 13 porque 117 – 432 + 365 - 274 +146 = -78 = (-6)x13. De los siguientes números, ¿cuál es divisible entre 13?
a) 111222333443

b) 1122334455

c) 448833

d) 45121515

e) 142027852

7. En la fábrica de Efrén reciclan todos sus materiales y pueden hacer una llanta nueva con nueve usadas. ¿Cuántas llantas pueden utilizar en total si inicialmente tenían 729 llantas nuevas?
a) 800

b) 809

c) 810

d) 819

e) 820

8.- En la figura, ABEF es un rectángulo y el triángulo CDE es un triángulo isósceles. AB = 100 cm ; AF es el triple de AB, BC es el doble de AB y el perímetro de la figura es 9.41 m. La longitud de CD es:

a) 1.41 m

b) 2.41 m

c) 0.41 m

d) 3.41 m

e) 4.41 m

9. Dos personas desgranaron 400 elotes; una de ellas desgranaba tres elotes por minuto, la otra dos. La segunda trabajó 25 minutos más que la primera. ¿Cuánto tiempo trabajó cada una?
a) 50 y 75 min.

b) 65 y 90 min.

c) 70 y 95 min.

d) 75 y 100 min.

e) 85 y 110 min.
10.- En la figura HE = 8cm y HC = 5cm. Hallar GI si los tres rectángulos son iguales y G es punto medio de FI.

a) 1.5 cm

b) 2 cm

c) 2.5 cm

d) 3 cm

e) 4cm

11.- Dado un entero positivo de tres cifras abc (donde a, b y c son cifras), lo escribimos en orden inverso (cba) y al mayor le restamos el menor. Si la cifra de las centenas del número resultante es 4, ¿cuál es el número obtenido?
a) 420

b) 429

c) 463

d) 475

e) 495

12. Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 4cm. ¿Qué longitud deberá tener el tercer lado para conseguir que el triángulo tenga la máxima área posible? (podría ser que algunos de los valores de los incisos sean imposibles).

a) 1 cm

b) (raíz de dos)cm

c) 2 cm

d) 2 por raíz ded dos cm

e) 9 cm

13.- Encuentra el área sombreada, en términos de a, si los lados del cuadrado son radios.

a)

b)

c)

d)

14.- Una cinta de video se puede grabar en tres velocidades: SP, LP y EP. En cada una, la duración es de 2 horas, 4 horas y 6 horas, respectivamente. Si en una cinta se grabó 1 hora en SP y 30 minutos en LP, ¿cuánto le resta para grabar en EP?

a) 1 hora

b) 1.15 horas

c) 2 horas

d) 2.25 horas

e) 2.45 horas


15.- En la siguiente figura hay dos cubos negros no visibles; ¿de cuántas maneras diferentes pueden estar acomodados? (no se considera diferente si se intercambian dos cubos del mismo color).

a) 200

b) 145

c) 160

d) 180

e) 190

SOLUCIÓN DE EXAMEN CADETE 2007-8 (ETAPA ESCUELA)

SOLUCION EXAMEN CADETE 2007-2008

Solución 1: la respuesta es c) 2000. Si Fanny, que tiene 21, tiene el triple de años que Zulema entonces Zulema tiene 7 años. Como esto se cumple en el 2007 entonces Zulema nació en el 2000.

Solución 2: . la respuesta es a) 57600. De 144 árboles tomamos las 5/6 partes que son 120. Sabemos que cada uno de estos árboles producirá tres cajas en un año, esto es, darán 360 cajas de manzanas. Como cada caja cuesta 160, el total de la producción se puede vender en 57600.

Solución 3: la respuesta es b) 731241, pues 7+3+1+2+4+1=18 es un múltiplo de 3.
Información adicional: para ver que este criterio de divisibilidad funciona, recordemos que un número tiene una expansión decimal, por ejemplo,
731241 = (7x100000) + (3x10000) + (1x1000) + (2x100) + (4x10) + 1,así que si hacemos la resta del número con la suma de sus dígitos obtenemos un múltiplo de 3, por ejemplo,
731241 - (7+3+1+2+4+1) =
((7x100000)-7) + ((3x10000)-3) + ((1x1000)-1) + ((2x100)-2) + ((4x10)-4) + (1-1) =
(7x99999) + (3x9999) + (1x999) + (2x99) + (4x9) = 3x3x[(7x11111) + (3x1111) + (1x111) + (2x11) + 4], lo que significa que al dividir entre 3, el número original deja el mismo residuo que obtenemos de dividir la suma de sus dígitos entre 3. Es un ejercicio sencillo de álgebra hacer la prueba formal.

Solución 4: la respuesta es e) 35413. Tenemos que 3541 – 3x2 =3541 – 6 = 3535 y para saber si este es un múltiplo de 7 usamos el criterio nuevamente; 353 – 5x2 = 353 – 10 = 343, nuevamente 34 – 3x2 = 34 – 6 = 28 y vemos que 35413 sí es un múltiplo de 7.
Información adicional: la verificación de este criterio es más interesante, pero mejor te invitamos a los cursos de entrenamiento para competir en la Olimpiada de Matemáticas, o a los cursos para profesores-entrenadores de la Olimpiada de Matemáticas, que se imparten en la Facultad de Matemáticas de la UADY.

Solución 5: la respuesta es a) 10857, pues tenemos para la primera opción (1+8+7) - (0+5) = (16) - (5) = 11.
Información adicional: este criterio se verifica de manera similar (con una complicación adicional) al del 3.

Solución 6: la respuesta es a) 111222333443, pues tenemos que (111) - (222) + (333) - (443) = (444) - (665) = -(221) = -(17x13).
Información adicional: la verificación de este criterio es interesante y reiteramos la invitación.

Solución 7: la respuesta es e) 820. Inicialmente tenemos 729 llantas nuevas y 729 = 81x9, como con cada 9 llantas podemos hacer una nueva con los residuos sobrantes después de usarlas podemos hacer 81 llantas nuevas, pero en la fabrica de Efrén nada se desperdicia, así que al usar estas podemos usar los residuos para hacer otras 9 llantas y con estas una más: en total (729)+(81)+(9)+(1) = 820.

Solución 8: la respuesta es a) 1.41 m. Como ABEF es un rectángulo tenemos que la longitud de AB es igual a la de EF, es decir, 100 cm. Como el tamaño de AF es el triple del de AB, entonces mide 300 cm. Por otra parte, BC es el doble de AB, así que mide 200 cm. Se tiene que BE es igual a AF; son de 300 cm. CE y DE son iguales a 100 cm. De todas estas consideraciones se sigue que el perímetro de la figura es (AB)+(BC)+(CD)+(DE)+(EF)+(FA) = (100)+(200)+(CD)+(100)+(100)+(300) = (CD)+(800cm) = 9.41m, de tal manera que CD debe ser igual a 141cm.

Solución 9: la respuesta es c) 70 y 95 min. Es fácil hallar la respuesta por medio de una ecuación. Sean x los minutos que trabajaron al mismo tiempo las dos personas; quitando los elotes ya desgranados por la segunda, tenemos que 3x + 2x = 400 – 25(2). Entonces 5x = 350, de aquí que x sea igual a 70, entonces la primera persona trabajó 70 minutos y la segunda 95, (25 más que la primera).

Solución 10: la respuesta es a) 1.5 cm. No es difícil darse cuenta de que HF mide 4 cm; como HC = 5cm, por el Teorema de Pitágoras deducimos que CF mide 3 cm. Ya que cada rectángulo es igual al otro, FI mide 3 cm. Finalmente GI es la mitad de FI, entonces mide 1.5 cm.

Solución 11: la respuesta es e) 495. Observemos que el número abc al dividirlo entre 9 tiene un residuo, que puede ser 0, 1, 2, …, 8. Si recordamos el criterio de divisibilidad por 9 notaremos que al invertir el orden de sus dígitos no cambia la suma de estos, así que el número cba tendrá el mismo residuo que abc. Al restarlos, como tienen el mismo residuo, el número que se forme tendrá residuo cero, es decir, será divisible entre 9. De las opciones señaladas solo 495 es múltiplo de 9.

Solución 12: la respuesta es d) cm. Por la ley de la desigualdad del triángulo el lado faltante es menor que 8. Usando el teorema de Pitágoras podemos calcular la altura del triángulo. Si la base fuera a) 1 cm la altura sería y el área sería = = . Si la base fuera b) la altura sería y el área = = . Si la base fuera c) 2 cm la altura sería y el área igual. Si la base fuera d) cm, la altura sería y el área = , de manera que el área es mayor cuando la base es d) cm.
Información adicional (comentario exclusivo para profesores): aquí hay un error en la presentación del problema; pues la longitud de base que maximiza el área del triángulo entre las opciones que se presentan sí es (d), pero la base que maximiza el área del triángulo entre los valores posibles es , lo cual es fácil de verificar con cálculo diferencial (herramienta que por supuesto no se espera que manejen los concursantes). Si Usted se pregunta la razón por la que no se manejaron las opciones de los incisos multiplicadas por 2, la respuesta es simplemente que al responsable del examen se le olvidó.

Solución 13: la respuesta es b) . Calculemos por partes el área.

el área de un cuarto de círculo es .



el área de la “rebanada” en la figura es .

finalmente el área de “las dos rebanadas” en la figura es 2x

Solución 14: la respuesta es d) 2.25 horas. De los datos se tiene que una hora en SP es ½ de la cinta, y que 30 min en LP es 1/8 de la cinta. Para hallar la cantidad sobrante restamos las otras del total: 1 - (1/2 + 1/8) = 3/8. Al multiplicar 3/8 por las 6 horas sabremos cuanto tiempo queda para grabar en EP: 2.25 horas.

Solución 15: la respuesta es e) 190. En la figura tenemos una pirámide que al quitarle los cubos blancos de encima nos queda la misma, pero sin la base; algo así:



En la figura hay 4(1) + 3(2) + 2(3) + 1(4) = 20 cubos. De estas 20 posibles ubicaciones para los cubos negros el primero puede estar en 20 sitios y el segundo en 19, así que juntos pueden estar colocados de 380 maneras. Sin embargo, colocar los cubos como 1,2 es lo mismo que colocarlos como 2,1 pues a la vista son iguales. Para eliminar las repeticiones dividimos entre 2, pues pueden colocarse solo de dos formas 1,2 y 2,1 , obteniéndose 190.

EXAMEN BENJAMÍN 2OO7-8 ETAPA ESCUELA

Olimpiada Mexicana de MatemáticasDelegación Yucatán


EXAMEN BENJAMÍN SECUNDARIA, INTERNO ESCUELA, 2007-08.
NOMBRE: _____________________________________________
GRADO: __________ GRUPO: ____________ PUNTUACIÓN: ____________

Instrucciones.

1.- El nivel benjamín se corresponde con el primer y segundo años de secundaria.
2.- La duración de este examen es de una hora exactamente.
3.- Está estrictamente prohibido el uso de calculadora, tablas o algún material auxiliar; sólo se permiten lápiz y borrador.
4.- Todos los celulares deberán estar apagados y guardados.
5.- Los relojes con calculadora deberán estar apagados y guardados.

1.- Un número es divisible entre 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de 4. Por ejemplo 76544 es divisible entre 4 porque 44 es divisible entre 4. De los siguientes números, ¿cuál es divisible entre 4?
a) 3152199

b) 344453

c) 65153646

d) 348456

e) 3544414

2.- Un número es divisible entre 9 cuando la suma de sus dígitos es múltiplo de 9. Por ejemplo 11215494 es divisible entre 9 porque 1 + 1 + 2 + 1 + 5 + 4 + 9 + 4 = 27 es divisible entre 9. De los siguientes números, ¿cuál es divisible entre 9?
a) 35294

b) 356511

c) 65107

d) 34845

e) 562311

3.-Un número es divisible entre 11 si la diferencia entre la suma de los dígitos que ocupan la posición par y la suma de los dígitos que ocupan la posición impar es divisible entre 11. Por ejemplo 175692 es divisible entre 11 porque (2+6+7)-(9+5+1) = 15-15 = 0, y el 0 es divisible por 11. De los siguientes números, ¿cuál es divisible entre 11?
a) 10857

b) 44435

c) 34853

d) 1175811

e) 313435

4.- ¿Cuántos números entre uno y cien (incluyendo al 100) pueden escribirse como la suma de cinco naturales consecutivos?
a) 20

b) 15

c) 12

d) 18

e) 32

5.- En un banco hay 7 sacos de monedas de uso legal del mismo valor, cada una de las cuales pesa 10 grs. Un empleado, por error, deja junto a estos sacos otro saco de monedas falsas pero idénticas en todo menos en el peso, ya que pesan un gramo menos que las originales. El gerente Chente afirma que solo hace falta hacer una pesada (es decir, usar una sola vez una báscula) para saber cual es el saco que contiene las monedas falsas y enumera los sacos del 1 al 8 y toma una moneda del primer saco, dos del segundo saco, y así hasta tomar ocho del octavo saco: luego de pesar las monedas obtiene 353 grs. ¿Qué número tiene el saco que contiene las monedas falsas?
a) 4

b) 8

c) 7

d) 6

e) 2

6.- Los 3/7 de los ahorros de Páuper son 21 pesos, ¿cuánto dinero tiene ahorrado?
a) 147

b) 9

c) 49

d) 12

e) 67

7.- Después de cuatro exámenes el promedio obtenido por Nicasio es 5. Para que su promedio suba un punto en el siguiente examen debe obtener:
a) 6

b) 8

c) 9

d) 10

e) 12

8.- Si al numerador y al denominador de se les suma el mismo número, se obtiene, . El número que se le sumó es:
a) 2

b) 3

c) 10

d) 15

e) 17

9.- El granjero Hortensio tenía algunas tierras. Un tercio lo destinó al cultivo de trigo, un cuarto al cultivo de guisantes, un quinto al cultivo de frijoles y en las 26 hectáreas restantes cultivaba maíz. ¿Cuántas hectáreas tenía en total?
a) 210

b) 150

c) 350

d) 125

e) 120

10.- El ángulo COB mide 120°. El ángulo COD es la mitad del ángulo BOA. ¿Cuánto mide el ángulo BOA?
a) 90°

b) 60°
c) 20°

d) 40°
e) 45°

11.- En la siguiente figura tenemos cuatro círculos iguales de radio 1. Uniendo los centros obtenemos un cuadrilátero irregular, ¿cuánto mide el área sombreada?
a) 1

b) (PI)

c) 4

d) 2(PI)

e) 4(PI)

12.- En el pizarrón están escritos los números de 1, 2 y 3, a partir de ellos se realiza el siguiente procedimiento: se eligen dos de esos números, se borran y se escribe en su lugar su suma y su diferencia (el mayor menos el menor), y luego se repite este procedimiento con los números resultantes. De las siguientes alternativas, ¿cuál es la que es posible?

a) Obtener una lista de todos los números iguales a 2.
b) Obtener una lista con todos los números iguales a 4.
c) Obtener una lista para ambos, para 2 y para 8.
d) Obtener una lista con todos los números iguales a 1.
e) Obtener una lista con los números iguales a 0.


13.- Al herrero Strong le entregaron 5 pedazos de cadena de tres eslabones cada una (como se muestra en el dibujo) y se pidió que volviera a forjar una cadena continua con todos los pedazos. ¿Cuál es el mínimo número de eslabones que tendrá que abrir, para forjar la nueva cadena?
a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

14.- El diagrama indica la ubicación de los 29 barrios de una ciudad. Los círculos son barrios y las líneas carreteras, la distancia entre barrios es de 5km. El intendente decide que ningún barrio debe estar a más de 5km de un cuartel de bomberos. ¿Cuál es la mínima cantidad de cuarteles necesarios, si cada uno de ellos debe estar ubicado en un barrio?


a) 6

b) 7
c) 8

d) 9
e) 10

15.- Ana dibuja todos los triángulos de lados enteros y perímetro 9. Berenice dibuja todos los triángulos de lados enteros y perímetro 10, ¿cuántos triángulos pintó cada una de ellas? (¡ojo!, no toda terna de números enteros se corresponde con los lados de un triángulo, además, en este problema no se considera que una línea sea un triángulo)
a) A=2, B=2

b) A=1, B=3

c) A=3, B=1

d) A=2, B=3

e) A=3, B=2

SOLUCIÓN DE EXAMEN BENJAMÍN 2007-8 (ETAPA ESCUELA)

Soluciones de los problemas DEL EXAMEN BENJAMÍN 2007-2008

Solución 1: d) 348456, ya que 4x14=56, es decir, 56 es múltiplo de 4.

Información adicional: este criterio de divisibilidad funciona porque todo número se puede escribir como un múltiplo de 100 más el número formado por los últimos dos dígitos, por ejemplo, 348456=348400+56=(100)x(3484)+56=(4x25)x(3484)+56, y como 100 es múltiplo de 4, entonces el residuo de dividir cualquier número entre 4 es igual al residuo de dividir el número formado por las dos últimas cifras de dicho número entre 4.

Solución 2: e) 562311, ya que 5+6+2+3+1+1=18 y 18 es múltiplo de 9.

Información adicional: para ver que este criterio de divisibilidad funciona, recordemos que un número tiene una expansión decimal, por ejemplo,
562311 = (5x100000) + (6x10000) + (2x1000) + (3x100) + (1x10) + 1,
así que si hacemos la resta del número con la suma de sus dígitos obtenemos un múltiplo de 9, por ejemplo, 562311 - (5+6+2+3+1+1) =
((5x100000)-5) + ((6x10000)-6) + ((2x1000)-2) + ((3x100)-3) + ((1x10)-1) + (1-1) =
(5x99999) + (6x9999) + (2x999) + (3x99) + (1x9) = 9x[(5x11111) + (6x1111) + (2x111) + (3x11) + 1], lo que significa que al dividir entre 9, el número original deja el mismo residuo que obtenemos de dividir la suma de sus dígitos entre 9. Es un ejercicio sencillo de álgebra hacer la prueba formal.
Por cierto, no hay nada especial con respecto al 9; si consideramos la expansión vigesimal, como los mayas, entonces este criterio de divisibilidad no serviría para el 9, pero sí para el 19.

Solución 3: a) 10857, ya que (1 + 8 + 7) - (0 + 5) = 11.

Información adicional: este criterio se verifica de manera similar al anterior, pero mejor te invitamos a los cursos de entrenamiento para competir en la Olimpiada de Matemáticas, o a los cursos para profesores-entrenadores de la Olimpiada de Matemáticas, que se imparten en la Facultad de Matemáticas de la UADY.

Solución 4: d) 18. Veamos la prueba usando un poco de álgebra; si llamamos n a un número, sus dos antecesores inmediatos son (n-1) y (n-2) y sus dos sucesores inmediatos son (n+1) y (n+2), luego la suma de estos 5 números es (n-2)+(n-1)+(n)+(n+1)+(n+2) = 5n, un múltiplo de 5, por tanto estamos buscando los números del 1 al 100 que son múltiplos de 5; estos son 5, 10, 15, …, 90, 95, 100; 20 en total. Sin embargo, el 5 es igual a (-1)+(0)+(1)+(2)+(3) y 10 es igual a (0)+(1)+(2)+(3)+(4), pero el cero y -1 no son naturales, de manera que el 5 y el 10 no cumplen con lo solicitado en el enunciado.

Información adicional: no se espera que los concursantes desarrollen la prueba presentada, en especial aquellos que aún no han llevado álgebra, lo que se considera sería el proceso normal para que se percaten de cual es la respuesta correcta, es que comiencen por hacer la suma 1+2+3+4+5 = 15, luego la suma 2+3+4+5+6 = 20 y que con estos o varios ejemplos adicionales, se den cuenta de que para obtener la siguiente suma es suficiente con sumar 5, pues a cada uno de los cinco sumandos se le agrega una unidad, por lo que los números son los de la sucesión de 5 en 5 que comienza en 15 y termina en 20.

Solución 5: la respuesta es c) 7. Notemos que las monedas verdaderas pesan 10 gramos de manera que al tomar una, dos, cualquier cantidad de monedas, el peso de éstas terminará en 0, pero a causa de las monedas falsas el peso total es de 353 grs. Si hubiera tomado 1 moneda falsa el peso terminaría en 9; si fueran 2, terminaría en 8; y así sucesivamente, para cada número de monedas falsas hasta 9, inclusive, la terminación del peso sería única; como el peso termina en 3 entonces fueron 7 monedas falsas las que se tomaron, por lo tanto, el saco séptimo es el de las monedas falsas.
Segunda solución: también podemos comenzar por hacer la cuenta 10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60 + 70 + 80 = 360, que es la cantidad de gramos que deberían pesar las monedas si todas fueran verdaderas, como 360 – 353 = 7, entonces hay 7 monedas falsas.

Solución 6: la respuesta es c) 49. Los ahorros de Páuper, 21 pesos, son 3/7 del total y es inmediato que (3/7)x(7/3)=1, así que (21)x(7/3) nos debe dar el total de sus ahorros, es decir, 49. También podemos redactar esto usando una regla de tres simple: 21 es a 3 como X es a 7, así que X = (21x7)/3 = 49.

Solución 7: la respuesta es d) 10. Su promedio es 5, de manera que obtuvo 20 puntos en total en sus 4 exámenes. Par tener 6 de promedio debe obtener 30 puntos en 5 exámenes, es decir, una calificación de 10 en el último examen.

Solución 8: la respuesta es b) 3; si al número le sumamos 3 en el numerador y 3 en el denominador, obtenemos que .

Solución 9: la respuesta es e) 120. Hortensio destinó (1/3)+(1/4)+(1/5)=(47/60) al cultivo de trigo, guisantes y frijoles. De manera que le sobraron 26 hectáreas que representan (13/60) de sus tierras. Puesto que (13/60)x(60/13)=1, tenemos que (26)x(60/13) = 120 nos indica cuantas hectáreas tiene en total.

Solución 10: la respuesta es d) 40°. Primero recordemos que los ángulos COD+COB+BOA suman 180°, luego los ángulos COD+ BOA suman 60°. El ángulo COD es el doble del ángulo BOA, de manera que tres veces el ángulo COD es 60°, luego COD mide 20° y BOA mide 40°.

Solución 11: la respuesta es b) . Los 4 círculos son iguales; como sabemos que los ángulos internos de un cuadrilátero suman 360°, tenemos que con las 4 partes coloreadas podemos formar un círculo completo de radio 1 y su área, naturalmente, es .

Solución 12: la respuesta es de b): primero observemos que por la forma en que se realiza la resta, el menor número que puede aparecer con esta operación es el 0, por lo que cuando sumamos siempre obtenemos un número mayor o igual al mayor del par con el que comenzamos, así que siempre tiene que haber algún número mayor o igual a 3, lo que indica que las opciones (a), (c), (d) y (e) no pueden ocurrir. Para ver que (b) sí es posible, consideremos la siguiente sucesión de operaciones: los números 1,2,3 se convierten en 0,2,4 al usar el 1 y el 3, este resultado a su vez (al operar el 0 y el 2) se convierte en 2,2,4, lo que luego se transforma en 0,4,4, de lo que obtenemos 4,4,4.

Solución 13: La respuesta es c) 3. Para convencernos veamos el dibujo:

Si abrimos los extremos de las cadenas segunda y cuarta, no es difícil notar que tenemos suficientes eslabones para juntar todos los pedazos restantes; en esta forma solamente tuvimos que abrir 4 eslabones. Sin embargo, si nos fijamos en la cadena del centro y abrimos los tres eslabones que la forman podemos usarlos para unir las 4 cadenas sobrantes; destruyendo una cadena nos ahorramos un eslabón:

Solución 14: La respuesta es c) 8.

en este arreglo todos los barrios están a 5 Km. de los cuarteles de bomberos, excepto aquellos que tienen cuartel, así que con 8 sí se puede.
Ahora veamos que con 7 cuarteles no es posible.
Los barrios que están en la periferia son 18. Un cuartel fuera de la periferia a lo más puede abarcar un barrio de la periferia, o dos si se encuentra en el barrio del segundo renglón cuarta columna. Un cuartel en la periferia puede abarcar de dos a tres barrios en la periferia, así que para cubrir los 18 de la periferia se requieren al menos 6 cuarteles. Revisando algunos posibles acomodos, se comprueba que esos 6 cuarteles a lo más cubren otros seis puntos del interior, y que quedan 5 en una configuración que no puede ser cubierta con un solo cuartel.
Información adicional: no se espera que el competidor encuentre toda la argumentación y desarrolle todos los casos, pero sí que encuentre alguna configuración de 8 cuarteles y que tras varios experimentos, intuitivamente comprenda que 7 cuarteles no son suficientes.

Solución 15: la respuesta es e) A = 3, B = 2.

Primero debemos notar que en un triángulo existen ciertas propiedades que relacionan las longitudes de sus lados; es fácil ver que si se suman las longitudes de dos lados, lo que se obtiene es mayor o igual que la longitud del tercer lado: esto se conoce como la desigualdad triangular. También es fácil darse cuenta de que si la suma de las longitudes dos lados es igual a la longitud del tercero, entonces el triángulo en realidad es una línea, o lo que también es conocido como un “triángulo degenerado”. Más aún, si tomamos tres números que cumplan con las tres desigualdades triangulares, entonces hay un triángulo cuyos lados tiene las longitudes determinadas por los números elegidos.
En segundo lugar debemos observar que para determinar uno de tales triángulos, es suficiente con considerar la terna de números ordenada de menor a mayor, pues siempre se puede girar o rotar a un triángulo para que sus lados queden en cualquier posición que se quiera.
Así que calculemos las formas de sumar 9 y 10 en ternas de números ordenados de menor a mayor:
Para 9, tenemos las posibilidades (1+1+7), (1+2+6), (1+3+5), (1+4+4), (2+2+5), (2+3+4) y (3+3+3). Para 10, tenemos las posibilidades (1+1+8), (1+2+7), (1+3+6), (1+4+5), (2+2+6), (2+3+5), (2+4+4) y (3+3+4). En el caso del 9, cumplen la desigualdad triangular solamente (1+4+4), (2+3+4) y (3+3+3). En el caso del 10 cumplen con la desigualdad triangular, y con no represent

CONVOCATORIA

LA ACADEMIA DE MATEMÁTICAS DE LA ESCUELA SECUNDARIA TECNICA 72 Y LA FACULTAD DE MATEMÁTICAS DE LA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN:

CONVOCAN

A TODO EL ALUMNADO DE LA ESCUELA SECUNDARIA TÉCNICA 72 A PARTICIPAR EN EL SELECTIVO INTERNO QUE SE LLEVARÁ A CABO EL PRÓXIMO JUEVES 15 DE NOVIEMBRE EN EL LOCAL DE LA MISMA PARA ELEGIR A LOS ALUMNOS QUE HABRÁN DE REPRESENTARNOS EN LA FASE DE ZONA.


LAS INSCRIPCIONES INICIARÁN A PARTIR DE LA PUBLICACIÓN DE LA MISMA CON LOS RESPECTIVOS MAESTROS DE LA ESPECIALIDAD Y CONCLUIRÁN EL DÍA MIERCOLES 14 DE NOVIEMBRE A LAS 13.10 HORAS.


EL SELECTIVO CONSTARÁ DE UN EXAMEN DE 15 PREGUNTAS, EL CUAL HA SIDO DISEÑADO POR LA FACULTAD DE MATEMÁTICAS; LOS MAESTROS DE LA ACADEMIA CALIFICARÁN LOS EXÁMENES Y DE ACUERDO A LOS RESULTADOS OBTENIDOS SE ASIGNARÁ A LOS ALUMNOS QUE PARTICIPARÁN EN EL SIGUIENTE NIVEL, DEBIENDO PRESENTARSE ÉSTOS EL DIA Y LA HORA EN EL LUGAR QUE POSTERIORMENTE SE SEÑALE.



MAYORES INFORMES CON LOS PROFESORES DE LA MATERIA.




ATENTAMENTE:
LIC. LIGIA C. BAUTISTA DENIS.
LIC VICTOR NIETO SOLIS.
LIC. JUAN G. ZALDÍVAR