SOLUCION EXAMEN CADETE 2007-2008
Solución 1: la respuesta es c) 2000. Si Fanny, que tiene 21, tiene el triple de años que Zulema entonces Zulema tiene 7 años. Como esto se cumple en el 2007 entonces Zulema nació en el 2000.
Solución 2: . la respuesta es a) 57600. De 144 árboles tomamos las 5/6 partes que son 120. Sabemos que cada uno de estos árboles producirá tres cajas en un año, esto es, darán 360 cajas de manzanas. Como cada caja cuesta 160, el total de la producción se puede vender en 57600.
Solución 3: la respuesta es b) 731241, pues 7+3+1+2+4+1=18 es un múltiplo de 3.
Información adicional: para ver que este criterio de divisibilidad funciona, recordemos que un número tiene una expansión decimal, por ejemplo,
731241 = (7x100000) + (3x10000) + (1x1000) + (2x100) + (4x10) + 1,así que si hacemos la resta del número con la suma de sus dígitos obtenemos un múltiplo de 3, por ejemplo,
731241 - (7+3+1+2+4+1) =
((7x100000)-7) + ((3x10000)-3) + ((1x1000)-1) + ((2x100)-2) + ((4x10)-4) + (1-1) =
(7x99999) + (3x9999) + (1x999) + (2x99) + (4x9) = 3x3x[(7x11111) + (3x1111) + (1x111) + (2x11) + 4], lo que significa que al dividir entre 3, el número original deja el mismo residuo que obtenemos de dividir la suma de sus dígitos entre 3. Es un ejercicio sencillo de álgebra hacer la prueba formal.
Solución 4: la respuesta es e) 35413. Tenemos que 3541 – 3x2 =3541 – 6 = 3535 y para saber si este es un múltiplo de 7 usamos el criterio nuevamente; 353 – 5x2 = 353 – 10 = 343, nuevamente 34 – 3x2 = 34 – 6 = 28 y vemos que 35413 sí es un múltiplo de 7.
Información adicional: la verificación de este criterio es más interesante, pero mejor te invitamos a los cursos de entrenamiento para competir en la Olimpiada de Matemáticas, o a los cursos para profesores-entrenadores de la Olimpiada de Matemáticas, que se imparten en la Facultad de Matemáticas de la UADY.
Solución 5: la respuesta es a) 10857, pues tenemos para la primera opción (1+8+7) - (0+5) = (16) - (5) = 11.
Información adicional: este criterio se verifica de manera similar (con una complicación adicional) al del 3.
Solución 6: la respuesta es a) 111222333443, pues tenemos que (111) - (222) + (333) - (443) = (444) - (665) = -(221) = -(17x13).
Información adicional: la verificación de este criterio es interesante y reiteramos la invitación.
Solución 7: la respuesta es e) 820. Inicialmente tenemos 729 llantas nuevas y 729 = 81x9, como con cada 9 llantas podemos hacer una nueva con los residuos sobrantes después de usarlas podemos hacer 81 llantas nuevas, pero en la fabrica de Efrén nada se desperdicia, así que al usar estas podemos usar los residuos para hacer otras 9 llantas y con estas una más: en total (729)+(81)+(9)+(1) = 820.
Solución 8: la respuesta es a) 1.41 m. Como ABEF es un rectángulo tenemos que la longitud de AB es igual a la de EF, es decir, 100 cm. Como el tamaño de AF es el triple del de AB, entonces mide 300 cm. Por otra parte, BC es el doble de AB, así que mide 200 cm. Se tiene que BE es igual a AF; son de 300 cm. CE y DE son iguales a 100 cm. De todas estas consideraciones se sigue que el perímetro de la figura es (AB)+(BC)+(CD)+(DE)+(EF)+(FA) = (100)+(200)+(CD)+(100)+(100)+(300) = (CD)+(800cm) = 9.41m, de tal manera que CD debe ser igual a 141cm.
Solución 9: la respuesta es c) 70 y 95 min. Es fácil hallar la respuesta por medio de una ecuación. Sean x los minutos que trabajaron al mismo tiempo las dos personas; quitando los elotes ya desgranados por la segunda, tenemos que 3x + 2x = 400 – 25(2). Entonces 5x = 350, de aquí que x sea igual a 70, entonces la primera persona trabajó 70 minutos y la segunda 95, (25 más que la primera).
Solución 10: la respuesta es a) 1.5 cm. No es difícil darse cuenta de que HF mide 4 cm; como HC = 5cm, por el Teorema de Pitágoras deducimos que CF mide 3 cm. Ya que cada rectángulo es igual al otro, FI mide 3 cm. Finalmente GI es la mitad de FI, entonces mide 1.5 cm.
Solución 11: la respuesta es e) 495. Observemos que el número abc al dividirlo entre 9 tiene un residuo, que puede ser 0, 1, 2, …, 8. Si recordamos el criterio de divisibilidad por 9 notaremos que al invertir el orden de sus dígitos no cambia la suma de estos, así que el número cba tendrá el mismo residuo que abc. Al restarlos, como tienen el mismo residuo, el número que se forme tendrá residuo cero, es decir, será divisible entre 9. De las opciones señaladas solo 495 es múltiplo de 9.
Solución 12: la respuesta es d) cm. Por la ley de la desigualdad del triángulo el lado faltante es menor que 8. Usando el teorema de Pitágoras podemos calcular la altura del triángulo. Si la base fuera a) 1 cm la altura sería y el área sería = = . Si la base fuera b) la altura sería y el área = = . Si la base fuera c) 2 cm la altura sería y el área igual. Si la base fuera d) cm, la altura sería y el área = , de manera que el área es mayor cuando la base es d) cm.
Información adicional (comentario exclusivo para profesores): aquí hay un error en la presentación del problema; pues la longitud de base que maximiza el área del triángulo entre las opciones que se presentan sí es (d), pero la base que maximiza el área del triángulo entre los valores posibles es , lo cual es fácil de verificar con cálculo diferencial (herramienta que por supuesto no se espera que manejen los concursantes). Si Usted se pregunta la razón por la que no se manejaron las opciones de los incisos multiplicadas por 2, la respuesta es simplemente que al responsable del examen se le olvidó.
Solución 13: la respuesta es b) . Calculemos por partes el área.
el área de un cuarto de círculo es .
el área de la “rebanada” en la figura es .
finalmente el área de “las dos rebanadas” en la figura es 2x
Solución 14: la respuesta es d) 2.25 horas. De los datos se tiene que una hora en SP es ½ de la cinta, y que 30 min en LP es 1/8 de la cinta. Para hallar la cantidad sobrante restamos las otras del total: 1 - (1/2 + 1/8) = 3/8. Al multiplicar 3/8 por las 6 horas sabremos cuanto tiempo queda para grabar en EP: 2.25 horas.
Solución 15: la respuesta es e) 190. En la figura tenemos una pirámide que al quitarle los cubos blancos de encima nos queda la misma, pero sin la base; algo así:
En la figura hay 4(1) + 3(2) + 2(3) + 1(4) = 20 cubos. De estas 20 posibles ubicaciones para los cubos negros el primero puede estar en 20 sitios y el segundo en 19, así que juntos pueden estar colocados de 380 maneras. Sin embargo, colocar los cubos como 1,2 es lo mismo que colocarlos como 2,1 pues a la vista son iguales. Para eliminar las repeticiones dividimos entre 2, pues pueden colocarse solo de dos formas 1,2 y 2,1 , obteniéndose 190.
a) 1.41 m 
a) 1.5 cm 
